極座標ラプラシアンを求める公式

座標として \( {\bf x}(q_1,q_2,q_3)\) が入っているとき

\[
\newcommand{\partdif}[2]{\frac{\partial #1}{\partial#2}}
\]

\[\partdif{{\bf x}}{q_1} ,\partdif{{\bf x}}{q_2}, \partdif{{\bf x}}{q_3} \]が

各点で互いに直交しているとき、ラプラシアンを求めるのに次の公式が使えます。

\[
\lambda_1{\bf e}_1=\partdif{{\bf x}}{q_1},\lambda_2{\bf e}_2=\partdif{{\bf x}}{q_2},\lambda_3{\bf e}_3=\partdif{{\bf x}}{q_3}
\]

であるとし

\({\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3\)が右手系正規直交基底となるように取ると

\[
\Delta f=
\frac{1}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}\left[\partdif{}{q_1}\left(\frac{\lambda_2\lambda_3}{\lambda_1}\partdif{f}{q_1}\right)+\partdif{}{q_2}\left(\frac{\lambda_3\lambda_1}{\lambda_2}\partdif{f}{q_2}\right)+\partdif{}{q_3} \left(\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_3}\partdif{f}{q_3}\right)\right]
\]

導出はひとまず置いておいて、実際に使ってみます。

極座標を

\[
\begin{cases}
x_1=r\sin \phi \cos \theta\\
x_2=r\sin \phi \sin \theta\\
x_3=r\cos \phi \\
\end{cases}
\]

で導入すると
\[
\begin{cases}
\partdif{{\bf x}}{r}=(\sin \phi \cos \theta,\sin \phi \sin \theta,\cos \phi ) \\
\partdif{{\bf x}}{\phi}=(r\cos \phi \cos \theta,r\cos \phi \sin \theta,-r\sin \phi) \\
\partdif{{\bf x}}{\theta}=(-r\cos \phi \sin \theta,r\cos \phi \cos \theta,0)　\\
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
{\bf e}_1=(\sin \phi \cos \theta,\sin \phi \sin \theta,\cos \phi ) \\
{\bf e}_2=(\cos \phi \cos \theta,\cos \phi \sin \theta,-\sin \phi) \\
{\bf e}_3=(-\sin \theta,\cos \theta,0)　\\
\end{cases}
\]

と置くと

\[
\begin{cases}
\lambda_1=1\\
\lambda_2=r\\
\lambda_3=r\sin \phi\\
\end{cases}
\]

と置けばよく、公式に代入すると

\[
\Delta f=
\frac{1}{r^2\sin\phi}\left[\partdif{}{r}\left(r^2 \sin\phi\partdif{f}{r}\right)+\partdif{}{\phi}\left(\sin\phi\partdif{f}{\phi}\right)+\partdif{}{\theta} \left(\frac{1}{\sin\theta}\partdif{f}{\theta}\right)\right]
\]