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a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)が自然数となる自然数の組について 衝撃の解答編

この前の記事で\(a,b,c\in\mathbb{N}\)で
\( a < b < c \)とするとき
\[\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\in\mathbb{N}\]
となるような組が沢山ある(おそらく無限?)ってことは前の記事で書いたんですが
さらに制限をつけて
\(a,b,c\)が互いに素
としたら解として
\[a=13,b=77,c=183\]
しかでてこなくて困ってしまい、math over flow に投げました。
数学の知恵袋サイト的なところで、日夜多くの数学の議論で賑わっています。

そうすると数時間後にはすぐに回答をいただくことができました!!

mathoverflow.net

回答者様の投稿によると\(a+b+c\)の順に解を並べたとき、次に小さな解で互いに素なものは


\(a=15349474555424019\)
\(b=35633837601183731\)
\(c=105699057106239769\)


だそうです。これは流石に全探索では見つけられない...

ちなみにこのとき
\[\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=231293021292774912\]

となります。ひょえええってかんじですね。

背後に理論があるようでそのことについても書いてくださっており、非常に勉強になりました!

追記:
さらに小さな解についても見つけてくださってますね。
\[a=248,b=2755,c=7227\]


\[\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=18414\]
となり、確かに解です!