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線形微分方程式の解の次元について

とりあえず、微分方程式の解の存在と一意性の定理を使えば
\(n\)次線形微分方程式の解空間の次元が\(n\)であることはすぐ示せるとわかった。

こんなかんじでやる。

線形微分方程式

\[
\frac{d^{n}y}{dt^{n}}+a_1\frac{d^{n}y}{dt^{n}}+\cdots+a_ny=0
\]

が初期条件

\[
\frac{d^{j}y}{dt^{j}} =b_j(t=t_0)
\]

\[
(j=0,\cdots,n-1)
\]


を満たす場合を考える。

解の存在性と一意性からこの条件を満たす解\(y^\circ \)がただ一つある。

いま解の存在性から

\[
\frac{d^{j}y_i}{dt^{j}}=
\begin{cases}
1&&(i=j)\\
0&&(i\neq j)
\end{cases}
(i,j=0,\cdots,n-1)
\]

となるような線形独立な解の組\(y_1,\cdots,y_n\)

がとれて

\[
y^\dagger=b_1y_1+\cdots+b_ny_n
\]

と置けばこれは

微分方程式と初期条件を満たす解になっている

よって一意性より

\[
y^\circ=y^\dagger
\]

となり、\(y_1,\cdots,y_n\)は解空間を張る。

よって解空間の次元は\(n\)となる。