外積代数のノート

自分の勉強の進捗を記しておくためのノートです。正しさは保証しません。
また編集中のノートです。
\[
\newcommand{\wedgee}[2]{{#1}_1\land {#1}_2\land\cdots\land {#1}_{#2}}
\]

\(p\) ベクトル

次を満たすものを\(\mathbb{R}\)上の\(p次\)のベクトルという。

\[
\begin{align}
&\nonumber\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_p\in\mathbb{R}^n\text{とする}\\
&\alpha_1\land\alpha_2\land\cdots\alpha_p \text{は重線形}\\
&\alpha_i=\alpha_j(i\neq j)\Longrightarrow \alpha_1\land\alpha_2\land\cdots\land\alpha_p=0\\
&\text{任意の}\alpha_i,\alpha_j(i\neq j)\text{を入れ替えると},\wedgee{\alpha}{p}\\
&\nonumber\text{の符号が反転する。}
\end{align}
\]

そしてこれら\((1),(2),(3)\)を満たすようなものたち全体の集合を\(p\)ベクトル空間といい、\(L=\mathbb{R}^n\)と置いたとき
\[\land^p L\]とかく。