行列指数関数の性質(メモ）

行列指数関数に対して次の性質が成り立ちます。

\[
\begin{align}
&\exp O=E\\
\nonumber\\
&\exp A\exp B=\exp(A+B)\;(AB=BA\text{のとき})\\
\nonumber\\
&\exp X\exp (-X)=E
\end{align}
\]

\((1)\)は行列指数関数の定義から明らかです。
\((2)\)は簡単に証明できて、\(AB=BA\)より

\[
\begin{align}
\text{(左辺)}&=\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty \frac{A^i}{i!}\frac{B^j}{j!}\\
&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{i=0}^{n}\frac{A^i}{i!}\frac{B^{n-i}}{(n-i)!}\\
&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{n!}\frac{n!}{i!(n-i)!} A^iB^{n-i}\\
&=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left(\sum_{i=0}^{n}\frac{n!}{i!(n-i)!} A^iB^{n-i}\right)\\
&=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(A+B)^n\\
\nonumber&=\text{(右辺)}
\end{align}
\]

\((3)\)は\((1),(2)\)からすぐ導けます。